\section{线性变换}

\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 这章我们的研究对象是一个线性空间上的线性变换，即该线性空间到自身的保持加法和数乘的映射。
    \item 这节我们会讲到线性变换的若干简单性质：将零映到零，将负向量映到负向量，
      保持线性组合，保持线性关系等。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{线性变换}

上一章我们看到，数域 $P$ 上任意一个 $n$ 维线性空间都与 $P^{n}$ 同构，因之，有限维线性空间的结构可以认为是完全清楚了。 线性空间是某一类事物从量的方面的一个抽象。我们认识客观事物， 固然要弄清它们单个的和总体的性质， 但是更重要的是研究它们之间的各种各样的联系。 在线性空间中，事物之间的联系就反映为线性空间的映射。 线性空间 $V$ 到自身的映射通常称为 $V$ 的一个变换。 这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样。线性变换是线性代数的一个主要研究对象。

下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域 $P$ 上的线性空间。

\begin{definition}
  线性空间 $V$ 的一个变换 $\symscr{A}\colon V\rightarrow V$ 称为\emph{线性变换} (linear transformation)，如果$\sA$保持向量的线性运算（加法与数量乘法），即对任意的 $\alpha, \beta\in V$和$k\in P$ 都有
  \[\tag{1}
\mathscr{A}( \alpha+ \beta)=\mathscr{A}(\alpha)+\mathscr{A}( \beta), \quad \mathscr{A}(k  \alpha)=k \mathscr{A}( \alpha) .
\]
\end{definition}

我们之前提到过 $\sA$满足 (1) 相当于 $\sA$满足：对任意的$k,l\in P$, $\alpha,\beta\in V$有
\[
  \sA(k \alpha+ l\beta)=k\sA(\alpha)+l\sA(\beta).
\]

以后我们一般用花体拉丁字母 $\mathscr{A}, \mathscr{B}, \cdots$ 代表 $V$ 的变换， $\mathscr{A}( \alpha)$ 或 $\mathscr{A}  \alpha$ 代表元素 $ \alpha$ 在变换 $\mathscr{A}$ 下的像。所有$V$上线性变换构成的集合记为$\End(V)$或$L(V)$.

\end{frame}

\begin{frame}
  下面我们来看几个简单的例子，它们表明线性变换这个概念是有丰富的内容的。
\begin{example}
平面上的向量构成实数域上的二维线性空间。 把平面围绕坐标原点按逆时针方向旋转 $\theta$ 角， 就是一个线性变换， 我们用 $\mathscr{J}_{\theta}$ 表示。 如果平面上一个向量 $\alpha$ 在直角坐标系下的坐标是 $(x, y)$, 那么像 $\mathscr{J}_{\theta}( \alpha)$ 的坐标， 即 $ \alpha$ 旋转 $\theta$ 角之后的坐标 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ 是按照公式
\[
  \begin{pmatrix}
  x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\]
来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换。
\end{example}

  \begin{example}
  \begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}[yscale=1.6]
      \coordinate (E) at (0,-.25);
      \coordinate[label=left:$O$] (O) at (0,0); 
      \coordinate[label=left:$\alpha$] (A) at (0,.6);
      \coordinate[label=left:$\Pi_{\alpha}(\zeta)$] (P) at (0,1);
      \coordinate[label=right:$\zeta$] (Z) at (2,1);
      \draw[thick] (E) -- (O);
      \draw[thick,->,blue] (O) -- (A);
      \draw[thick,->,magenta] (A) -- (P);
      \draw[thick,->,magenta] (O) -- (Z);
      \draw[dashed] (P) -- (Z);
      \pic [draw, angle radius=1.5mm] {right angle = A--P--Z};
    \end{tikzpicture}
  \end{wrapfigure}


设 $ \alpha$ 是几何空间中一固定的非零向量， 把每个向量 $\zeta$ 变到它在 $\alpha$ 上的内射影的变换也是一个线性变换， 以 $\Pi_{\alpha}$ 表示它。我们来找下$\Pi_{\alpha}(\zeta)$的公式。这里我们用$\pair{\alpha, \beta}$来表示向量$\alpha, \beta$的点积，即$\pair{\alpha, \beta}=\alpha\cdot \beta$. 
  设$\Pi_{\alpha}(\zeta) = c \alpha$. 
  由向量$\zeta- \Pi_{\alpha}(\zeta)$与$\alpha$垂直可知$\pair{\zeta-c\alpha, \alpha}=0$, 从而$c=\frac{\pair{\zeta,\alpha}}{\pair{\alpha,\alpha}}$.
    所以$\Pi_{\alpha}$用公式表示就是
\[
  \Pi_{\alpha}(\zeta)=\frac{\pair{ \alpha, \zeta}}{\pair{ \alpha,  \alpha}} \alpha.
\]
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{}
  \begin{example}
线性空间 $V$ 中的恒等变换或称单位变换 $\symscr{E}$,即
  以及零变换 $\symscr{O}$, 即
\[
\begin{aligned}
  \symscr{E}( \alpha)&= \alpha, \quad \text{对~} \alpha \in V,\\
  \symscr{O}( \alpha)&= \mathscr{0}, \quad \text{对~}  \alpha \in V,
\end{aligned}
\]
它们都是线性变换。

\end{example}

  \begin{example}

设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $k\in P$, 定义 $V$ 的变换为
\[
  \mathscr{K}\colon V\rightarrow V, \alpha \mapsto k  \alpha.
\]
不难证明，这是一个线性变换，称为由数 $k$ 决定的数乘变换。 
显然，当 $k=1$时，我们便得恒等变换，当 $k=0$ 时，便得零变换。

\end{example}

  \begin{example}

在线性空间 $P[x]$ 或者 $P[x]_{n}$ 中，求微商
  \[
    \mathscr{D}\colon f(x)\mapsto f^{\prime}(x) 
  \]
  是一个线性变换。 

\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
定义在闭区间 $[a, b]$ 上的全体连续函数组成实数域上一线性空间， 以 $C(a, b)$ 代表。 在这个空间中，变换
\[
\mathscr{I}(f(x))=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t
\]
是一线性变换。
\end{example}

\begin{example}
  (这个例子会在实分析这门课程中学到。)
  令$L^p(\bR)$为实轴上的 $L^p$-可积函数的集合。
  令$f\in L^p(\bR), g\in L^1(\bR)$. 那么我们可以定义卷积
  \[
    (f*g)(x)=\int_{\bR} f(x-y)g(y)\mathrm{d}y.
  \]
  且 $f*g\in L^p(\bR)$. 对固定的$g\in  L^1(\bR)$, 
  我们有积分变换
  \[
    L^{p}(\bR)\rightarrow L^p(\bR), \quad f\mapsto f*g.
  \]
  此变换为线性变换，$g$称为此卷积变换的卷积核。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}{线性变换的性质}

不难直接从定义推出线性变换的以下简单性质：

\begin{observation*}
\begin{enumerate}
  \item 设 $\mathscr{A}\in \End(V)$, 则 $\mathscr{A}( \symbf{0})=\symbf{0}, 
    \mathscr{A}(- \alpha)=-\mathscr{A}( \alpha)$. 诚然，
    \[
      \begin{aligned}
        \sA(\symbf{0})&=   \sA(0\cdot \symbf{0})= 0\cdot \sA(\symbf{0}) =0,\\
        \sA(-\alpha)&= \sA\left( (-1)\alpha \right)=(-1)\sA(\alpha)=-\sA(\alpha).
      \end{aligned}
    \]
    \item 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
      换句话说，
      %如果 $ \beta$ 是 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 的线性组合：
      %\[
      %   \beta=\sum_{i=1}^r k_{i}  \alpha_{i},
      %\]
%那么经过线性变换 $\mathscr{A}$ 之后， $\mathscr{A}( \beta)$ 是 $\mathscr{A}\left( \alpha_{1}\right), \mathscr{A}\left( \alpha_{2}\right), \cdots, \mathscr{A}\left( \alpha_{r}\right)$ 同样的线性组合， 即
%\[
%  \mathscr{A}( \beta)=\sum_{i=1}^r k_{i} \mathscr{A}\left( \alpha_{i}\right).
%\]
%亦即
我们有
\[
  \sA\left( \sum_{i=1}^r k_{i}  \alpha_{i} \right)=\sum_{i=1}^r k_{i} \mathscr{A}\left( \alpha_{i}\right).
\]
又如果 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 之间有一线性关系式
$
  \sum_{i=1}^r k_{i}  \alpha_{i}=\symbf{0},
$
那么它们的像之间也有同样的关系
\[
  \sum_{i=1}^r k_{i} \mathscr{A}\left( \alpha_{i}\right)=\symbf{0} .
\]
\item 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
  （注意此结论的逆不对，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。例如零变换就是这样。）
\end{enumerate}
\end{observation*}

\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何谓线性变换？你知道线性变换的哪些性质？
    \item 列举一些线性变换的例子。
  \end{enumerate}
\end{frame}
